• Registravosi: 2010-10-11
  • Pranešimai: 17

Tema: Rasti masės centro koordinates

Nesu mačiusi tokio uždavinio anksčiau. Net nežinau ar į šį skyrelį papuoliau.

Rasti vienalytės figūros, apribotos kreivės y^2=4x , ašies Ox ir tiesės x=4 , masės centro koordinates.

Na, jei gerai sudėliojau, tai grafiškai atrodytų šitaip http://oi51.tinypic.com/dwct34.jpg

tik kaip tas masės koordinates rasti.

Thumbs up

 

 

2 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: Rasti masės centro koordinates

Iš kur tą uždavinį ištraukei?

Thumbs up

3 Pranešimas nuo Agne21

  • Registravosi: 2010-10-11
  • Pranešimai: 17

Ats: Rasti masės centro koordinates

Savarankiškame darbe. Aš kai studijuoju ištęstinėse studijose, tai nežinau, ar aiškino tokius. Ir niekur nerandu apie tai.

Thumbs up

4 Pranešimas nuo Agne21

  • Registravosi: 2010-10-11
  • Pranešimai: 17

Ats: Rasti masės centro koordinates

Jokių minčių? : /

Thumbs up

5 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: Rasti masės centro koordinates

panašiai

Thumbs up

6 Pranešimas nuo Agne21

  • Registravosi: 2010-10-11
  • Pranešimai: 17

Ats: Rasti masės centro koordinates

Na, tai praleidžiu.

Thumbs up

7 Pranešimas nuo Taksas027

  • Registravosi: 2010-11-29
  • Pranešimai: 1,038
  • Teigiami įvertinimai: 203

Ats: Rasti masės centro koordinates

Čia atrodo kažkas panašaus daroma, tik su pusapskritimiu http://www.mathsrevision.net/alevel/pages.php?page=78

Paskutinį kartą keitė Taksas027 (2010-12-19 20:24:44)

Thumbs up

8 Pranešimas nuo Agne21

  • Registravosi: 2010-10-11
  • Pranešimai: 17

Ats: Rasti masės centro koordinates

Nepavyko prisitaikyt :}

Thumbs up

9 Pranešimas nuo Taksas027

  • Registravosi: 2010-11-29
  • Pranešimai: 1,038
  • Teigiami įvertinimai: 203

Ats: Rasti masės centro koordinates

Vietoj apskritimo ploto, tai reik 32/3 rašyt, o vietoj
\int\limits_{0}^{4}{(2yx \rho )}dx
nežinau kaip tą y pakeist į x.

Paskutinį kartą keitė Taksas027 (2010-12-19 21:02:30)

Thumbs up

10 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: Rasti masės centro koordinates

Formaliai turbūt taip turėtų atrodyti:
y = 0
x = \frac{\int \limits_{0}^{4} x \sqrt{x} dx}{ \int \limits_{0}^{4} \sqrt{x}dx }

Thumbs up

11 Pranešimas nuo AncientMariner

  • Registravosi: 2009-05-27
  • Pranešimai: 379
  • Teigiami įvertinimai: 90

Ats: Rasti masės centro koordinates

Pažiūrėkime į paprastesnius atvejus. Sakykime, kad turime du taškus tiesėje, kurių koordinatės x_1 ir x_2, o masės m_1 ir m_2, atitinkamai. Kiekvienas taškas prie masės centro padėties "prisideda tiek, kiek pats sveria", t.y. masės centro koordinatė yra (m_1 x_1 + x_2 m_2) / (m_1 + m_2).

Nagrinėkime bendresnį atvejį. Sakykime, kad turime n taškų X_1, X_2, ..., X_n erdvėje, o tų taškų masės yra atitinkamai m_1, m_2, ..., m_n. Erdvė gali turėti bet kokį baigtinį skaičių k dimensijų, bet tarkime, kad erdvė yra trimatė, t.y. kiekvienas vektorius X_i turi tris koordinates: X_i = (x_i, y_i, z_i). Tuomet vėl kiekvienas taškas prisideda prie masės centro koordinačių tiek, kiek pats sveria, t.y. masės centro koordinatės yra (m_1 X_1 + m_2 X_2 + ... + m_n X_n) / (m_1 + m_2 + ... + m_n). Pažymėkime visos sistemos masę M, t.y. M = m_1 + m_2 + ... + m_n. Tuomet masės centro koordinatės yra 1/M * (m_1 X_1 + ... + m_n X_n). Pavyzdžiui, jo x koordinatė yra 1/M * (m_1 x_1 + ... + m_n x_n), o y koordinatė yra 1/M * (m_1 y_1 + ... + m_n y_n).

Dabar pereikime prie "tolydaus" atvejo, kai turime kūną A, sudarytą iš be galo daug taškų. Tuomet taškai nebeturi svorio, bet turi tankį, t.y. turime funkciją m(X), kuri parodo kūno tankį taške X. Kai kūnas vienalytis, galime parinkti m(X) = 1 visuose kūno taškuose A.

Kūno A masė yra

M = \int_A m(X) dX.

Ir vėl kiekvienas taškas prie masės centro padėties prisideda tiek, kiek "sveria". Dabar neturime masės, o turime tankį, todėl masės centras yra

\frac{1}{M} \int_A m(X) X dX.

Rašydami X = (x, y, z) gauname, kad, pavyzdžiui, masės centro y koordinatė yra

\frac{1}{M} \int_A m(X) y dX.


Dabar bandykime panaudoti teoriją šiam uždaviniui.

Darbuosimės dviejų matmenų erdvėje - viskas tas pats, tik neturime z. Tegul A būna nagrinėjima figūra. Tiesė y = 0 yra figūros simetrijos ašis, todėl masės centras jai priklauso, t.y. masės centro y koordinatė yra 0. Telieka surasti jo x koordinatę.

Kadangi figūra vienalytė, parenkame m(X) = 1 visuose jos taškuose X. Tuomet figūros masė yra

M = \int_A 1 dX,

kas tėra figūros A plotas.

Tuomet galime apskaičiuoti masės centro x koordinatę, kuri yra lygi

\frac{1}{M} \int_A x dX = \frac{1}{M} \int_{y=-4}^4 \int_{x = y^2/4}^4 x dx dy.

Paskutinį kartą keitė AncientMariner (2010-12-19 21:14:53)

Thumbs up +2

12 Pranešimas nuo Agne21

  • Registravosi: 2010-10-11
  • Pranešimai: 17

Ats: Rasti masės centro koordinates

Įdomu. Na, dėkui. ;]

Thumbs up

13 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: Rasti masės centro koordinates

AncientMariner, gal suskaičiavai koks atsakymas gaunasi? Aš nemoku dvilypių integralų.

Thumbs up

14 Pranešimas nuo AncientMariner

  • Registravosi: 2009-05-27
  • Pranešimai: 379
  • Teigiami įvertinimai: 90

Ats: Rasti masės centro koordinates

Dvilypiai integralai nėra kažkas gudraus. Bendriausia forma jie atrodo taip:

\int_{x=a}^b \int_{y=c(x)}^{d(x)} f(x, y) dy dx,

kur c(x) ir d(x) yra funkcijos nuo x, o f(x, y) yra funkcija nuo x ir y.

Realiai tai yra du paprasti integralai. Užfiksuokime kažkokį x tarp a ir b ir pamirškime, kad turime integralą pagal x: integruokime pagal y su fiksuotu x. Šiam x, f(x, y) yra funkcija tik nuo y, o c(x) ir d(x) yra konstantos, taigi galime parašyti F(y) = f(x, y), C = c(x), D = d(x) ir suintegruoti

\int_C^D F(y) dy.

Jei būtume užfiksavę kitą x, būtume gavę kitas konstantas C, D ir kitokią funkciją F(y), todėl galime apibrėžti funkciją

g(x) = \int_C^D F(y) dy,

kuri parodo, kam būtų lygus tas integralas, jei būtume užfiksavę įvairius x. Pabaigiame suintegruodami šitą funkciją:

\int_a^b g(x) dx.


Apskaičiuokime integralus šiam uždaviniui.

I = \int_{y=-4}^4 \int_{x=y^2/4}^4 x dx dy.

Užfiksuokime kažkokį y. Suintegruokime integralą pagal x:

\int_{x=y^2/4}^4 x dx = {\left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{y^2/4}^4} = 8 - \frac{y^4}{32}.

Įstatome šį rezultatą ir integruojame pagal y:

\int_{y=-4}^4 \left( 8 - \frac{y^4}{32} \right) dy = {\left[ 8y - \frac{y^5}{160} \right]}_{-4}^4 = 64 - 2 \cdot \frac{4^5}{160} = 64 - \frac{64}{5} = \frac{256}{5}.

Taigi I = 256/5. Pabandykime apskaičiuoti M ir patikrinti, ar gaunasi toks pats rezultatas, kokį sakė Taksas027.

M = \int_A 1 dX = \int_{y=-4}^4 \int_{x=y^2/4}^4 1 dx dy = \int_{y=-4}^4 \left(4 - \frac{y^2}{4} \right) dy = {\left[4y - \frac{y^3}{12} \right]}_{-4}^4 = 32 - 2 \cdot \frac{64}{12} = \frac{64}{3}.

Gavome du kartus daugiau nei Taksas027 siūlo, tai turbūt padarėme klaidą kažkur big_smile Galima peržiūrėti skaičiavimus.

Jei visgi M = 64/3 ir I = 256/5, tuomet masės centro x koordinatė yra I/M = 12/5.


Tiesą sakant, jei I yra teisingai apskaičiuotas, tai M = 64/3 yra panašiau į tiesą nei 32/3, nes pastaruoju atveju masės centro x koordinatė  būtų 6/5, kas yra nepanašu į tiesą, nes figūra "stambesnė" pusėje x > 2, todėl ir masės centro x koordinatė turėtų būti didesnė nei 2. 12/5 atrodo gana tikėtina.

Paskutinį kartą keitė AncientMariner (2010-12-19 22:07:05)

Thumbs up +2

15 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: Rasti masės centro koordinates

Ačiū už informaciją ir netingėjimą rašyti ;] tiesiog dar nedaėjau iki tos vietos knygoje, kur dvilypiai integralai nagrinėjami. Bet tavo pranešimas tikrai suteikė motyvacijos pasiskubinti.
Aš šitam uždaviny galvojau taip, y=0 yra simetrijos ašis (kaip ir minėta), tad masės centro koordinatė y ašy lygi nuliui. O kad rasti masės centra palei x, tai (nesu tikras ar taip galima), tarti jog ta figūra tėra tarsi strypas išilgai x ašies, tik su kintama mase kiekviename taške. Tokiu būdu visas skaičiavimas supaprastėtų iki "vienalyčio" integralo:
x = \frac{\int \limits_{0}^{4} x \sqrt{x} dx}{ \int \limits_{0}^{4} \sqrt{x}dx }
su atsakymu 12/5.

Thumbs up

16 Pranešimas nuo AncientMariner

  • Registravosi: 2009-05-27
  • Pranešimai: 379
  • Teigiami įvertinimai: 90

Ats: Rasti masės centro koordinates

house_martin rašė:

Ačiū už informaciją ir netingėjimą rašyti ;] tiesiog dar nedaėjau iki tos vietos knygoje, kur dvilypiai integralai nagrinėjami. Bet tavo pranešimas tikrai suteikė motyvacijos pasiskubinti.
Aš šitam uždaviny galvojau taip, y=0 yra simetrijos ašis (kaip ir minėta), tad masės centro koordinatė y ašy lygi nuliui. O kad rasti masės centra palei x, tai (nesu tikras ar taip galima), tarti jog ta figūra tėra tarsi strypas išilgai x ašies, tik su kintama mase kiekviename taške. Tokiu būdu visas skaičiavimas supaprastėtų iki "vienalyčio" integralo:
x = \frac{\int \limits_{0}^{4} x \sqrt{x} dx}{ \int \limits_{0}^{4} \sqrt{x}dx }
su atsakymu 12/5.

Tu realiai ir atlieki dvigubą integralą (mintyse) smile Tavo integralas yra tas pats kaip mano pranešime, tik aš integruoju pirma pagal x, o paskui pagal y (nes man patogiau rėžius užrašyti taip), o tu integruoji pirma pagal y, o paskui pagal x. Kad integruotum tokia tvarka, reikia truputį paskaičiuot rėžius (iš ten x šaknis), bet laimi tuo, kad integruodamas pagal y neturi nieko galvoti, nes integralo vidus tuščias (integralas atrodo taip: ∫ 1 dy), taigi to integralo vertė yra tiesiog rėžio ilgis. O paskui integruoji pagal x. Visas atliktas procesas atrodo taip: ∫ x ∫ 1 dy dx. Taigi nemokėdamas dvigubų integralų, ką tik tokį suskaičiavai smile

Kokią knygą skaitai, jei ne paslaptis?

Thumbs up

17 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: Rasti masės centro koordinates

Mary L. Boas "Mathematical Methods in the Physical Sciences", bet kaip supratau iš skaitytojų atsiliepimų - ši knyga matematikams nelabai patinka ir nelabai tinka ;D

Thumbs up

18 Pranešimas nuo AncientMariner

  • Registravosi: 2009-05-27
  • Pranešimai: 379
  • Teigiami įvertinimai: 90

Ats: Rasti masės centro koordinates

Jei tu labiau fizikas, tai gerai smile Bet jei tu labiau matematikas, patarčiau perskaityti kokią nors grynosios matematikos knygą, ypač analizės. Skaitydamas taikomosios matematikos knygas gali pamatyti įvairių metodų, bet vargu ar jie susijungs į tolydžią visumą. Perskaitęs gerą grynosios matematikos knygą pamatytum, kaip viskas yra susijungę ir tikslu (pavyzdžiui, dvigubas integralas neatrodytų niekuo baisus ar ypatingas, o būtų tik specialus atvejis bendros konstrukcijos; daug dalykų, kuriuos dabar tenka spėlioti ir pasikliauti savo intuicija, paaiškėtų).

Tai tiek propogandos smile Gerai skaityti bet kokias knygas - manęs klausyti nebūtina big_smile

Thumbs up

19 Pranešimas nuo Taksas027

  • Registravosi: 2010-11-29
  • Pranešimai: 1,038
  • Teigiami įvertinimai: 203

Ats: Rasti masės centro koordinates

AncientMariner rašė:

Gavome du kartus daugiau nei Taksas027 siūlo, tai turbūt padarėme klaidą kažkur big_smile Galima peržiūrėti skaičiavimus.

Ten ne atsakymas, o tiesiog figūros plotas

Thumbs up

20 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: Rasti masės centro koordinates

Būtent ;]

Thumbs up