21 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: pusėjimas

čia bus visiškai nevėkšliškas sprendimas, statyčiau už tai kad atsakymas kažkuria prasme turėtų būti akivaizdus (bent jau dėl to kad mokykliniam kurse gavai šį uždavinį), bet nieko įdomesnio nei ta rašliava einanti toliau nesugalvojau ;]

Tarkim turi 8 daleles kurių pusėjimo trukmė yra 1 sekundė. Ir tariam kad pusė dalelių dingsta lygiai po vienos sekundės (laiko tarpe tarp 0 ir 1 sek. nieko nevyksta, tik praeina viena sekundė - baaam - pusė nebėra), po 1 sek lieka 4 dalelės, po 2 sek - 2 ir t.t. jei sudaugintume dalelių skaičių su laiku kurį jos gyvavo ir viską sudėtume:
(4 dalelės)*(1 sekundė) + (2 dalelės)*(2 sekundės) + (1 dalelė)*(3 sekundės) + (0.5 dalelės)*(4 sekundės) + ....
ir visą šitą padalintume iš 8 (visų dalelių skaičiaus) gautume vidutinį vienos dalelės gyvavimo laiką. Čia lygiai tas pats kas su kokiu viso klasės mokinių pažymių vidurkiu:
[(10 mokinių)*(gavo po dešimtukus 10) + (2 mokiniai)*(gavo po 6)]/12 = vidurkis (arba vidutinis pažimys).

Bet su realiom dalelėm skilimas nevykta taip kad praėjo 1620 metų ir bum nebėra pusės. Praėjus labai mažam laiko tarpui skyla kažkiek, praėjus dar vienam mažam laiko tarpui - dar kažkiek, taip jog po 1620 metų pusės nebėra. Jei neskilusių dalelių skaičius bet kuriuo laiko momentu t yra lygus:

N(t) = N_0 2^{-t/p}    (1)

kur raide p pavadinu pusėjimo laiką (pusamžį). Per mažą laiko tarpą \Delta t skilusių dalelių skaičius yra lygus:

N(t) - N(t+\Delta t)             (2)

Sekant ta "logika" kurią pradžioje aprašiau ;] vidutinis gyvavimo laikas bus šitų skirtumų, padaugintų iš laiko, suma padalinus iš viso dalelių skaičiaus N_0:

<t> = \frac{1}{N_0} \sum_{i=1}^{\infty} t_i \cdot (N(t_i) - N(t_i+\Delta t))     (3)

Kad galėtume šitą reikalą suskaičiuoti, galima pastebėti, kad (2) lygtyje sukeitus skirtumo narius vietomis ir padalinus gautą reiškinį iš \Delta t gautume funkcijos išvestinę:

\frac{dN}{dt} = \frac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}                (4)

kai \Delta t artėja į nulį. Iš čia:

dN = \frac{dN}{dt} \cdot dt                    (5)

(3) išraiškoje \Delta t artėjant į nulį, skirtumas po sumos ženklu artės į (-dN), o pati suma virs integralu:

<t> = \frac{1}{N_0} \int \limits_{N = N_0}^{N = 0} t \cdot (-dN)               (6)

dN gali rasti iš (1) išraiškos:

dN = -\frac{N_0}{p} \ln 2 \cdot 2^{-t/p} dt

įstačius šitai į (6) integralą:

<t> = \frac{1}{p} \ln 2 \int \limits_{0}^{\infty} t \cdot 2^{-t/p} dt

Nemoku tokių skaičiuot (reiktų dalimis integruot matyt), bet wolframalpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … o+infinity) sako kad apibrėžtinis integralas (be daugiklių) lygus:
\frac{p^2}{\ln^2 2}
padauginus iš tų daugiklių prieš integralo ženklą:
<t> = \frac{p}{\ln 2}

Paskutinį kartą keitė house_martin (2011-04-10 16:08:45)

Thumbs up +3

 

 

22 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: pusėjimas

hmzz... kitas variantas rodosi yra tiesiog atsiversti vadovėlį ir jame perskaityti pusamžio apibrėžimą:
p = <t> \cdot \ln 2
;D

Thumbs up +2

  • Registravosi: 2010-09-08
  • Pranešimai: 483
  • Teigiami įvertinimai: 25

Ats: pusėjimas

tai ką tu varai... yikes formules jisai išvedinėja.. yikes ką tu gyvenime veiki, kad tiek visko moki? yikes

Thumbs up

24 Pranešimas nuo Mirtise

  • Mirtise
  • Profesionalas
  • Atsijungęs
  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2010-04-25
  • Pranešimai: 2,963
  • Teigiami įvertinimai: 424

Ats: pusėjimas

house_martin rašė:

hmzz... kitas variantas rodosi yra tiesiog atsiversti vadovėlį ir jame perskaityti pusamžio apibrėžimą:
p = <t> \cdot \ln 2
;D

nu šitas joo... tas tas t yra 1620 ar 3240? ats gaunasi kai 3240/ln2 ;/

Thumbs up

25 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: pusėjimas

turų būti 1620. o į pirmesnį klausimą teisingas atsakymas gavosi?

Thumbs up

26 Pranešimas nuo Mirtise

  • Mirtise
  • Profesionalas
  • Atsijungęs
  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2010-04-25
  • Pranešimai: 2,963
  • Teigiami įvertinimai: 424

Ats: pusėjimas

į pirmą tai teisingas... tai gal klaida čia.
ačiū TAU ;p

Thumbs up

27 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: pusėjimas

į sveikatą. Atsakymas vistiek nesigavo, tai iš šito uždavinio abu gautume po 0 ;]

Thumbs up

28 Pranešimas nuo Mirtise

  • Mirtise
  • Profesionalas
  • Atsijungęs
  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2010-04-25
  • Pranešimai: 2,963
  • Teigiami įvertinimai: 424

Ats: pusėjimas

bet  manau tau vien už išvediną formulės parašytų taškelį ;D

Thumbs up

29 Pranešimas nuo Mirtise

  • Mirtise
  • Profesionalas
  • Atsijungęs
  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2010-04-25
  • Pranešimai: 2,963
  • Teigiami įvertinimai: 424

Ats: pusėjimas

Atominė elektrinė per parą suvartoja 220 g urano izotopo _{92}^{235}\textrm{U}. Elektrinės naudingumo keoficientas 25 proc. Atsižvelgdami į tai, kad, dalijantis vienam urano izotopui, išsiskiria 200 MeV energijos, apskaičiuokite elektrinės galią.

Thumbs up

30 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: pusėjimas

na ir kokios bėdos?

Thumbs up

31 Pranešimas nuo Mirtise

  • Mirtise
  • Profesionalas
  • Atsijungęs
  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2010-04-25
  • Pranešimai: 2,963
  • Teigiami įvertinimai: 424

Ats: pusėjimas

nekenčiu naud kof.
kas yra A visas ir A naudingas?
bėdos? problemų dvi krūvos...

Thumbs up

32 Pranešimas nuo brainstorm

  • Miestas: Alytus
  • Registravosi: 2010-12-18
  • Pranešimai: 91
  • Teigiami įvertinimai: 27

Ats: pusėjimas

house_martin rašė:

čia bus visiškai nevėkšliškas sprendimas, statyčiau už tai kad atsakymas kažkuria prasme turėtų būti akivaizdus (bent jau dėl to kad mokykliniam kurse gavai šį uždavinį), bet nieko įdomesnio nei ta rašliava einanti toliau nesugalvojau ;]

Tarkim turi 8 daleles kurių pusėjimo trukmė yra 1 sekundė. Ir tariam kad pusė dalelių dingsta lygiai po vienos sekundės (laiko tarpe tarp 0 ir 1 sek. nieko nevyksta, tik praeina viena sekundė - baaam - pusė nebėra), po 1 sek lieka 4 dalelės, po 2 sek - 2 ir t.t. jei sudaugintume dalelių skaičių su laiku kurį jos gyvavo ir viską sudėtume:
(4 dalelės)*(1 sekundė) + (2 dalelės)*(2 sekundės) + (1 dalelė)*(3 sekundės) + (0.5 dalelės)*(4 sekundės) + ....
ir visą šitą padalintume iš 8 (visų dalelių skaičiaus) gautume vidutinį vienos dalelės gyvavimo laiką. Čia lygiai tas pats kas su kokiu viso klasės mokinių pažymių vidurkiu:
[(10 mokinių)*(gavo po dešimtukus 10) + (2 mokiniai)*(gavo po 6)]/12 = vidurkis (arba vidutinis pažimys).

Bet su realiom dalelėm skilimas nevykta taip kad praėjo 1620 metų ir bum nebėra pusės. Praėjus labai mažam laiko tarpui skyla kažkiek, praėjus dar vienam mažam laiko tarpui - dar kažkiek, taip jog po 1620 metų pusės nebėra. Jei neskilusių dalelių skaičius bet kuriuo laiko momentu t yra lygus:

N(t) = N_0 2^{-t/p}    (1)

kur raide p pavadinu pusėjimo laiką (pusamžį). Per mažą laiko tarpą \Delta t skilusių dalelių skaičius yra lygus:

N(t) - N(t+\Delta t)             (2)

Sekant ta "logika" kurią pradžioje aprašiau ;] vidutinis gyvavimo laikas bus šitų skirtumų, padaugintų iš laiko, suma padalinus iš viso dalelių skaičiaus N_0:

<t> = \frac{1}{N_0} \sum_{i=1}^{\infty} t_i \cdot (N(t_i) - N(t_i+\Delta t))     (3)

Kad galėtume šitą reikalą suskaičiuoti, galima pastebėti, kad (2) lygtyje sukeitus skirtumo narius vietomis ir padalinus gautą reiškinį iš \Delta t gautume funkcijos išvestinę:

\frac{dN}{dt} = \frac{N(t+\Delta t) - N(t)}{\Delta t}                (4)

kai \Delta t artėja į nulį. Iš čia:

dN = \frac{dN}{dt} \cdot dt                    (5)

(3) išraiškoje \Delta t artėjant į nulį, skirtumas po sumos ženklu artės į (-dN), o pati suma virs integralu:

<t> = \frac{1}{N_0} \int \limits_{N = N_0}^{N = 0} t \cdot (-dN)               (6)

dN gali rasti iš (1) išraiškos:

dN = -\frac{N_0}{p} \ln 2 \cdot 2^{-t/p} dt

įstačius šitai į (6) integralą:

<t> = \frac{1}{p} \ln 2 \int \limits_{0}^{\infty} t \cdot 2^{-t/p} dt

Nemoku tokių skaičiuot (reiktų dalimis integruot matyt), bet wolframalpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … o+infinity) sako kad apibrėžtinis integralas (be daugiklių) lygus:
\frac{p^2}{\ln^2 2}
padauginus iš tų daugiklių prieš integralo ženklą:
<t> = \frac{p}{\ln 2}

Thumbs up

33 Pranešimas nuo brainstorm

  • Miestas: Alytus
  • Registravosi: 2010-12-18
  • Pranešimai: 91
  • Teigiami įvertinimai: 27

Ats: pusėjimas

house_martin rašė:

<t> = \frac{1}{p} \ln 2 \int \limits_{0}^{\infty} t \cdot 2^{-t/p} dt

Nemoku tokių skaičiuot (reiktų dalimis integruot matyt), bet wolframalpha (http://www.wolframalpha.com/input/?i=in … o+infinity) sako kad apibrėžtinis integralas (be daugiklių) lygus:
\frac{p^2}{\ln^2 2}

Čia taip vadinamas netiesioginis integralas, sprendžiasi taip:
\int\limits_{0}^{\infty}{\frac{t}{2^{\frac{t}{p}}}}dt=-p\int\limits_{0}^{\infty}{t \cdot 2^{-\frac{1}{p}t} \cdot d(-\frac{1}{p}t)}=
=\frac{-p}{\ln{2}}\int\limits_{0}^{\infty}{t \cdot d(2^{-\frac{1}{p}t})}=-\frac{p}{\ln{2}}(t \cdot 2^{-\frac{t}{p}}\mid_{0}^{\infty}-\int\limits_{0}^{\infty}2^{-\frac{t}{p}}dt)=
=-\frac{p}{\ln{2}}(\lim_{t\to\infty} {\frac{t}{2^{\frac{t}{p}}}}-0+\frac{p}{\ln{2}} \cdot 2^{-\frac{t}{p}} \mid_{0}^{\infty})=
=-\frac{p}{\ln{2}}(\lim_{t\to\infty} {\frac{1}{2^{\frac{t}{p}} \cdot \ln{2} \cdot \frac{1}{p}}}+\frac{p}{\ln{2}}(\lim_{t\to\infty} {\frac{1}{2^{\frac{t}{p}}}}-1))=
=-\frac{p}{\ln{2}}(0+\frac{p}{\ln{2}}(0-1))=\frac{p^2}{\ln^2{2}}

Thumbs up

34 Pranešimas nuo house_martin

  • Registravosi: 2009-05-29
  • Pranešimai: 2,032
  • Teigiami įvertinimai: 276

Ats: pusėjimas

o integralas sprendžiamas ar skaičiuojamas? kaip teisingai reiktų sakyt? ;]

Thumbs up

35 Pranešimas nuo brainstorm

  • Miestas: Alytus
  • Registravosi: 2010-12-18
  • Pranešimai: 91
  • Teigiami įvertinimai: 27

Ats: pusėjimas

house_martin rašė:

o integralas sprendžiamas ar skaičiuojamas? kaip teisingai reiktų sakyt? ;]

Čia klausi nes iš tikrųjų nežinai ar suktai klausi nes iš tikrųjų žinai? Aš nemanau, kad didelis skirtumas.. Gal vienaip labiau priimta sakyti, o ar "teisingai" ta prasme kaip pvz. Pitagoro teorema teisinga tai nežinau smile

Thumbs up