• Cido
  • Senbūvis
  • Atsijungęs
  • Miestas: Kaunas
  • Registravosi: 2011-04-26
  • Pranešimai: 137
  • Teigiami įvertinimai: 18

Tema: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Raskite visus realiuosius lygciu sistemos

(1 + 4x²)y = 4z²;
(1 + 4y²)z = 4x²;
(1 + 4z²)x = 4y²

sprendinius.

Thumbs up +1

 

 

2 Pranešimas nuo Vitalijus

  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2009-05-19
  • Pranešimai: 954
  • Teigiami įvertinimai: 105

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Iš kur paimtas šis uždavinys?
Atsakymas bent jau man gaunasi x=y=z=0.5

Vitalijus's Tinklapis

Thumbs up

3 Pranešimas nuo Cido

  • Cido
  • Senbūvis
  • Atsijungęs
  • Miestas: Kaunas
  • Registravosi: 2011-04-26
  • Pranešimai: 137
  • Teigiami įvertinimai: 18

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Siauliu miesto olimpiados, siu metu. Tai kanors keicia ? jei gali gal bent kokius veiksmus idetum smile ? idomu kaip gavai.

Thumbs up

4 Pranešimas nuo Vitalijus

  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2009-05-19
  • Pranešimai: 954
  • Teigiami įvertinimai: 105

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Šiaip įdomu buvo sužinoti iš kur smile.
Šiek tiek vėliau įmesiu keletą užuominų kaip ką dariau.

Vitalijus's Tinklapis

Thumbs up

5 Pranešimas nuo Cido

  • Cido
  • Senbūvis
  • Atsijungęs
  • Miestas: Kaunas
  • Registravosi: 2011-04-26
  • Pranešimai: 137
  • Teigiami įvertinimai: 18

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Gerai, lauksiu smile)

Thumbs up

6 Pranešimas nuo Vitalijus

  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2009-05-19
  • Pranešimai: 954
  • Teigiami įvertinimai: 105

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

(1 + 4x²)y = 4z²
(1 + 4y²)z = 4x²
(1 + 4z²)x = 4y²


Turbūt nesunku pastebėti, kad lygčių sistemos sprendiniai yra x=y=z=0 (gaunasi visur nuliai).
Pažiūrėkime ar dar yra ir kitokių.

Atskliauskime visas lygtis ir jas visas sudėkime:

y + 4x²y = 4z²
z + 4y²z = 4x²
x + 4z²x = 4y²

x + y + z + 4x²y + 4y²z + 4z²x = 4z² + 4x² + 4y²

Sukelkime viską į vieną pusę ir sugrupuokime pagal nežinomuosius ir jų koeficientus:

4x²y - 4x² + x + 4y²z - 4y² + y + 4z²x - 4z² + z = 0

Sugrupuotiems nariams, iškelkime bendrus dauginamuosius:

4x^2(y-1+\frac{1}{4x})+4y^2(z-1+\frac{1}{4y})+4z^2(x-1+\frac{1}{4z})=0

Iš šios lygties matome, kad ji bus nulinė tuomet, kai visi trys reiškiniai bus lygūs nuliui.
Kai x,y ir z lygūs nuliui mes jau aptarėme pradžioje. Dabar sudarysime naują lygčių sistemą:

\begin{cases}y-1+\frac{1}{4x}=0\\z-1+\frac{1}{4y}=0\\x-1+\frac{1}{4z}=0\end{cases}

Ši sistema jau daug paprastesnė už pradinę.
Iš pirmos ir antros lygties išsireiškiame x ir z:

x=\frac{1}{4-4y}
z=\frac{4y-1}{4y}

Įstatome šias reikšmes į trečiąją lygtį:

\frac{1}{4-4y}-1+\frac{1}{4\cdot\frac{4y-1}{4y}}=0

Viską sutvarkius gauname:

\frac{12y^2-12y+3}{(4-4y)(4y-1)}=0
12y^2-12y+3=0
(2y-1)^2=0

Išsprendę gauname y=0,5. Toliau randame x ir z:

x=\frac{1}{4-4y}=\frac{1}{4-4\cdot0.5}=0.5
z=\frac{4y-1}{4y}=\frac{4\cdot0.5-1}{4\cdot0.5}=0.5

Vitalijus's Tinklapis

Thumbs up +2

7 Pranešimas nuo Milkhater

  • Miestas: Alytus
  • Registravosi: 2010-04-06
  • Pranešimai: 1,545
  • Teigiami įvertinimai: 271

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Iš šios lygties matome, kad ji bus nulinė tuomet, kai visi trys reiškiniai bus lygūs nuliui.

O kodėl kiekvienas iš tų reiškinių negali būti neigiamas? smile

Paskutinį kartą keitė Milkhater (2011-05-15 22:08:20)

Thumbs up

8 Pranešimas nuo Vitalijus

  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2009-05-19
  • Pranešimai: 954
  • Teigiami įvertinimai: 105

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Geras klausimas smile
Taip norėjau supaprastinti sprendimą, kad net pamiršau... Teks parašyti ilgąjį sprendimą... sad

Vitalijus's Tinklapis

Thumbs up

9 Pranešimas nuo Vitalijus

  • Miestas: Vilnius
  • Registravosi: 2009-05-19
  • Pranešimai: 954
  • Teigiami įvertinimai: 105

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Galva neverda jau šiandien big_smile Ryt pažiūrėsiu dar...

Vitalijus's Tinklapis

Thumbs up

10 Pranešimas nuo Rimante

  • Registravosi: 2009-05-24
  • Pranešimai: 234
  • Teigiami įvertinimai: 19

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Galbūt būtų galima samprotauti taip:

kad nulinis sprendinys (x,y,z)=(0,0,0) tinka, manau akivaizdu, tad jį priimame ir paliekame ramybėj.

galima pastebėti dar vieną dalyką, kad visos trys lygtys yra ekvivalenčios taip pat akivaizdu, nes jei pakeisime tarkime x į y, y į z, o z į x, ar dar kaip nors, gausime tas pačias lygtis, vadinasi peršasi logika, kad šie visi sprendiniai bus vienodi dydžiai, t.y. tarkim (x,y,z)=(a,a,a).
Statome į kuria nors iš lygčių turime:

(1+4a²)a=4a²
daliname iš a≠0
1+4a²=4a
(2a-1)²=0
a=1/2

ats.: (0,0,0) ir (1/2,1/2,1/2).

Kažko ypatingesnio nesumąstau.

Thumbs up

11 Pranešimas nuo Milkhater

  • Miestas: Alytus
  • Registravosi: 2010-04-06
  • Pranešimai: 1,545
  • Teigiami įvertinimai: 271

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Bet juk a = 0 smile
Ar vis tiek galima dalinti?

Paskutinį kartą keitė Milkhater (2011-05-15 23:56:06)

Thumbs up

12 Pranešimas nuo Cido

  • Cido
  • Senbūvis
  • Atsijungęs
  • Miestas: Kaunas
  • Registravosi: 2011-04-26
  • Pranešimai: 137
  • Teigiami įvertinimai: 18

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Super! Pagarba Vitalijau hmm. Jei ne paslaptis kokius mokslus baiges esi ?

Paskutinį kartą keitė Cido (2011-05-15 23:57:17)

Thumbs up

13 Pranešimas nuo Rimante

  • Registravosi: 2009-05-24
  • Pranešimai: 234
  • Teigiami įvertinimai: 19

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

tai juk priėmėm, kad nulinis sprendinys tinka, tad viskas, dabar nagrinėjame visus nenulinius sprendinius smile

Thumbs up

14 Pranešimas nuo Milkhater

  • Miestas: Alytus
  • Registravosi: 2010-04-06
  • Pranešimai: 1,545
  • Teigiami įvertinimai: 271

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

tai juk priėmėm, kad nulinis sprendinys tinka, tad viskas, dabar nagrinėjame visus nenulinius sprendinius

aaaa. Na tada turbūt galima

galima pastebėti dar vieną dalyką, kad visos trys lygtys yra ekvivalenčios taip pat akivaizdu, nes jei pakeisime tarkime x į y, y į z, o z į x, ar dar kaip nors, gausime tas pačias lygtis, vadinasi peršasi logika, kad šie visi sprendiniai bus vienodi dydžiai, t.y. tarkim (x,y,z)=(a,a,a).

O ar tai matematiškai griežtas būdas?
Nu aš čia dabar grynai kabinėjuosi prie kiekvienos smulkmenos, nors nesupykit, bet man tikrai pasidarė įdomus šios sistemos išsprendimas ir matematinis pagrindimas... smile

P.S. 1200

Paskutinį kartą keitė Milkhater (2011-05-16 00:06:52)

Thumbs up

15 Pranešimas nuo brainstorm

  • Miestas: Alytus
  • Registravosi: 2010-12-18
  • Pranešimai: 91
  • Teigiami įvertinimai: 27

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Aš irgi sprendžiau man gavosi taip:

1. Iš pradinių lygčių matosi, kad x,y ir z yra >= 0, nes kiekvieną galima išsireikšti taip :
y=\frac{4z^2}{1+4x^2}
Skaitiklis ir vardiklis teigiami.

2. Sudedam visas tris lygtis, sukeliam į vieną pusę, gaunam reiškinį lygų nuliui. Reiškinį pertvarkom taip kad visi reiškinio nariai būtų lygūs nuliui:

y+4x^2y+z+4y^2z+x+4z^2x=4z^2+4x^2+4y^2

4x^2(y-1)+4y^2(z-1)+4z^2(x-1)+y+z+x=0

z(1+4y^2)(y-1)+z+x(1+4z^2)(z-1)+x+y(1+4x^2)(x-1)+y=0

z(y-1+4y^3-4y^2+1)+x(z-1+4z^3-4z^2+1)+y(x-1+4x^3-4x^2+1)=0

zy(2y-1)^2+xz(2z-1)^2+yx(2x-1)^2=0

Šiaip įdomu kaip tokius uždavinius reikia spręsti, ar paprasčiausiai bandyti visokius variantus kol gale kažkas gaunasi? Gali užtrukti labai ilgai smile

Thumbs up

16 Pranešimas nuo Rimante

  • Registravosi: 2009-05-24
  • Pranešimai: 234
  • Teigiami įvertinimai: 19

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Sugalvojau dar vieną sprendimo būdą, manau:

Pradžioj vėl sprrendinį (0,0,0) priimame, ir dabar nagrinėjame atvejį kuomet visi x, y, z kartu nelygūs nuliui.

Tuomet sudauginame visas tris lygtis, gauname:

(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)xyz=64x²y²z²
daliname iš xyz≠0
(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)=64xyz

Iš to, kad (2a-1)²≥0 seka, kad 1+4a²≥4a. Vadinasi

(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)=64xyz
   ≥4x       ≥4y      ≥4z

(1+4x²)(1+4y²)(1+4z²)≥64xyz

o pas ne >, o =64xyz, vadinasi 2x=2y=2z=1 iš ko sekas sprendinys (1/2,1/2,1/2)

Thumbs up +1

17 Pranešimas nuo Rimante

  • Registravosi: 2009-05-24
  • Pranešimai: 234
  • Teigiami įvertinimai: 19

Ats: Lygčių sistema. Šiaulių miesto olimpiada

Dar sužinojau, kad tai Respublikinės olimpiados uždavinys, o ne Šiaulių miesto, tiesiog respublikinė šiemet vyko Šiauliuose smile

Taip pat išsiaiškinau, kad visi tokio tipo uždaviniai gali būti sprendžiami tokiu metodu, kuomet nagrinėjami du atvejai:

1) x≥y≥z ir 2) x≥z≥y

Taigi pagal užduoties sąlygą turime:

1) (1+4x²)y≥4xy≥4z²

2) (1+4z²)x≥4zx≥4y²

iš šių dviejų atvejų seka, kad x=y=z
Toliau sprendžiame, kaip kažkurioje anksčiau esančioje mano žinutėje tarę, kad (x,y,z)=(a,a,a)

Thumbs up