Jūs esate neprisijungęs. Prašome prisijungti arba registruotis.
Jūs privalote prisijungti arba registruotis norėdami rašyti pranešimus mūsų forume
Nusprendžiau, kad reikia pagyvinti šią skiltį 
Maratono taisyklės:
1) Žmogus išsprendęs uždavinį turi įdėti naują.
2) Turi būti parašyti sprendimai, o ne vien atsakymai.
3) Kadangi čia Olimpiadų skiltis, tai uždaviniai turi būti olimpiadiniai.
Taigi nieko nelaukdamas dedu pirmąjį uždavinį.
Įrodykite, kad su bet kokiu sveikuoju skaičiu k, k³-k dalinasi iš 6.
Paskutinį kartą keitė bachukas (2010-04-14 20:20:52)
och - tai patys nemėgstamiausi man uždaviniai; nors tokie uždaviniai yra gan glaudžiai susiję su pačia (grynąja) matematika. Iš dalies galima sakyti, kad tokie uždaviniai ir yra pati matematika, bet aš jo nebandysiu spręsti 
, geriau pažiūrėsiu kaip kiti tai daro
Na as manau cia galima spresti matematines idukcijos metodu:
1) tikriname ar k³-k teisinga su k=1:
1³-1=0 -> o dalosi is 6 (teisinga)
2)darome prielaida kad su k = n teisinga uzduoties salyga, t.y. n³-n dalinasi is 6
3)imame k = n+1
(n+1)³-(n+1)=n³+3n²+3n+1-n-1=(n³-n)+3n²+3n
is prielaidos n³-n dalosi is 6
tuomet toliau nagrinejame likusia dali:
3n²+3n=3n(n+1)
kad skaicius dalintusi is sesiu jis turi dalintis ir is 3 ir is 2.
a)Taigi reiskinyje 3n(n+1) matome, kad daugiklis 3 visda bus
dabar reikia isitikinti kad visada bus ir daugiklis 2:
b) jei n = 2z, t.y. lyginis skaicius tai:
3n(n+1)=3*2z(2z+1) - matome daugiklis 2 yra
c)jei n = 2z+1, neluginis skaicius, tai:
3n(n+1)=3(2z+1)(2z+1-1)=3(2z+1)2z - taip pat matome kad daugiklis 2 yra
taigi is a), b) ir c) seka, kad 3n²+3n=3n(n+1) visada dalosi is 6.
Vadinasi su k=n+1, reiskinys k³-k visada dalosi is 6.
Ivydyti visi trys matematines idukcijos zingsniai.
Irodyta.
Gerai!
Gali dėti naują uždavinį.
P.S Buvo galima spręsti paprasčiau:
k³-k=(k-1)k(k+1).
k-1,k ir k+1 - trys iš eilės einantys skaičiai.
Tarp trijų iš eilės einančių skaičių bent vienas dalinasi iš 3, taip pat tarp trijų iš eilės einančių skaičių bent vienas dalinasi iš 2, todėl snadauga dalinasi iš 2*3=6
Paskutinį kartą keitė bachukas (2010-04-14 20:52:05)
Tęsiam maratoną
Raskite visus pirminius skaičius p ir q, su kuriais būtų teisinga lygybė p + q = ( p - q)³
Sekmės 
Jau mačiau kaip rodė šio uždavinio sprendimą po VPU konkurso, todėl leisiu kitiems pasireikšt
Taip taip jis būtent iš ten. Dalyvavai? Kaip sekėsi?
Paskutinį kartą keitė Rimante (2010-04-14 21:10:04)
Tai bent jau buvo ką veikti ten ar tik šiaip pasižaidimas tau ten buvo sudalyvauti ir pirmą vietą paimti?
p.s. Sveikinimai!
Paskutinį kartą keitė Rimante (2010-04-14 21:18:08)
Pirma pastebėkime, kad q < p (nes (p - q)³ = p + q > 0). Jei nei p, nei q nesidalina iš 3, tai q ir -q palieka skirtingas nenulines liekanas moduliu 3, todėl arba p + q, arba p - q dalinasi iš 3, bet ne abu kartu. Tačiau taip būti negali, nes p + q = (p - q)³. Taigi p arba q dalinasi iš 3. Kadangi tai pirminiai skaičiai, tai p = 3 arba q = 3.
Jei p = 3, tai q turi būti 2 (nes q < p). Tačiau tuomet p + q = 5 ≠ 1 = (p - q)³, taigi šis atvejis sprendinių neduoda.
Jei q = 3, tai turime p + 3 = (p - 3)³, t.y. (p - 3)((p - 3)² - 1) = 6. p = 5 tinka. Jei p ≥ 6, tai (p - 3)((p - 3)² - 1) ≥ 3 * 8 = 24 > 6, taigi tokių sprendinių nebus.
Atsakymas: (p, q) = (5, 3).
Paskutinį kartą keitė AncientMariner (2010-04-14 21:32:54)
Aišku buvo ką veikti Iš 20-ies taškų surinkau 15 (vieną blogai padariau)
Paskutinį kartą keitė bachukas (2010-04-14 21:22:46)
Primenu, kad parašius sprendimą turi būti įdedamas naujas uždavinys
Kadangi dar niekas neįdėjo, tai įdėsiu aš:
Stačiojo trikampio ABC plotas lygus 1. Taškai A', B' ir C' yra simetriški atitinkamai taškams A, B ir C atitinkamai kraštinių BC, AC ir AB atžvilgiu. Raskite trikampio A'B'C' plotą.
O nereik palaukt, kol sprendimas bus patvirtintas?
Aš manau, kad geriau iš karto įdėti naują uždavinį, kad labai neužsitęstų viskas
O klaidą sprendime galima rasti bet kada (net ir po kelių savaičių), tada vėl galima bandyti spręsti seną uždavinį iš naujo
Paskutinį kartą keitė bachukas (2010-04-14 22:50:01)
Kaip supratau, laukiam užduoties patvirtinimo ar kažko pan...
O gal kas nors tegul deda naują uždavinį, kaip kad bachukas sakė, nes kaip supratau, aš dar uždavinio įdėt negaliu (tad gal netempkim gumos)
Paskutinį kartą keitė Milkhater (2010-04-19 21:31:20)
Brėžinuką pasidariau lygiašoniam trikampiui ABC, nes juk užduotyje nepasakyta kokiam, vadinasi bet kokiam, o aš būtent tą bet kokį pasirinkau kaip lygiašonį - statųjį, t.y. AB=AC
Kadangi S(ABC)=1=AB*AC/2=AB²/2, tai AB=√2
Taigi atidėję simetriškus taškus matome, kad
AB=AB'=AC=AC'
AE=EA'
O trikampiai ABC ir AB'C' yra lygūs pagal dviejų kraštinių ir kampo tarp jų lygumo požymį, tad BC=B'C'.
Iš to seka, kad E'A=AE=EA', tai E'A'=3AE - trikampio A'B'C' aukštinė.
BC=√(AB²+AC²)=√(2+2)=2
BE=BC/2=1
AE=√(AB²-BE²)√(2-1)=1
E'A'=3AE=3*1=3
taigi S(A'B'C')=C'B'*E'A'/2=2*3/2=3
ats.: S(A'B'C')=3
(Na aš manau taip, kas manot kitaip? )
Tiesa sakant nežinau ar čia olimpiadinis uždavinys, bet tiek tos (gal ir per lengvas):
Rytis ir Kęstas susitarė susitikti autobuso stotelėje tarp 9 ir 10 valandos ryte. Kiekvienas atėjęs laukia kito 15 min., jei nesulaukia - išeina. Apskaičiuoti kam lygi tikimybė įvykio, kad Rytis ir Kęstas susitiks.
Sekmės
Paskutinį kartą keitė Rimante (2010-04-19 22:33:54)
Stačiojo trikampio ABC plotas lygus 1. Taškai A', B' ir C' yra simetriški atitinkamai taškams A, B ir C atitinkamai kraštinių BC, AC ir AB atžvilgiu. Raskite trikampio A'B'C' plotą.
Neprarasdami bendrumo tarkime, kad kampas A yra status. Pažymėkime A" aukštinės iš A į BC pagrindą. Nuo dabar naudosiu vektorius, taigi užrašas XY reikš ne atkarpą XY, o vektorių XY.
A'B' = A'A + AB' = A'A + BA (AB' = BA dėl to, kad B' yra taško B atspindis per tašką A)
A'C' = A'A + AC' = A'A + CA (AC' = CA dėl to, kad C' yra taško C atspindis per tašką A)
A'B' x A'C' (vektorinė sandauga) = (A'A + BA) x (A'A + CA)
= A'A x A'A + BA x A'A + A'A x CA + BA x CA
= AA' x (BA + AC) + BA x CA
= AA' x BC + BA x CA
= 2 AA" x BC + BA x CA (AA' = 2AA" dėl to, kad A' yra taško A atspindys per tašką A").
Tačiau A'B' x A'C' yra vektorius, einantis iš popieriaus, kurio ilgis lygus A'B'C' plotui, o AA" x BC ir BA x CA yra vektorius, einantis iš popieriaus, kurio ilgis lygus ABC plotui, todėl S(A'B'C') = 2 S(ABC) + S(ABC) = 3 S(ABC) = 3.
Paskutinį kartą keitė AncientMariner (2010-04-19 23:02:27)
Rytis ir Kęstas susitarė susitikti autobuso stotelėje tarp 9 ir 10 valandos ryte. Kiekvienas atėjęs laukia kito 15 min., jei nesulaukia - išeina. Apskaičiuoti kam lygi tikimybė įvykio, kad Rytis ir Kęstas susitiks.
Pasidarykime tokį brėžinį plokštumoje: tegul x ašyje būna Ryčio atėjimo laikas, o y ašyje --- Petro (dėl patogumo žymėkime 9 valandą kaip 0, o 10 valandą kaip 1, tuomet, pvz. 15 minučių bus 1/4). Užtušuokime plotą, kurio žymimos poros (x, y) reiškia, kad Rytis ir Kęstas susitiks. Šis plotas bus šešiakampis, apribotas viršūnių (0, 0), (0, 1/4), (3/4, 1), (1, 1), (1, 3/4) ir (1/4, 0). Jo plotas bus 1 - 2 * (3/4)² / 2 = 1 - 9/16 = 7/16. Viso galimų porų (x, y) kvadrato plotas yra 1, o poros (x, y) pasiskirsčiusios tikimybiškai tolygiai visame kvadrate, todėl tikimybė, kad vaikinai susitiks, yra 7/16.
Paskutinį kartą keitė AncientMariner (2010-04-19 23:12:39)
Gal neužpyksite, jei duosiu uždavinį, kurį jau seniau buvau davęs, bet niekas nesprendė.
Duota šachmatų lenta. Vienu ėjimu galima perdažyti priešinga spalva visus vienos vertikalės arba vienos horizontalės langelius. Ar galima po keletos ėjimų gauti lentą, kurios a) visi langeliai balti; b) lygiai vienas langelis juodas?
Jūs privalote prisijungti arba registruotis norėdami rašyti pranešimus mūsų forume
Math24.info © 2007-2012 Visos teisės saugomos
