Su simetrinių daugianarių savybėmis yra taip:
Kadangi daugianarius a+b+c, a²+b²+c² ir a³+b³+c³ galima pasikeisti , kad
a + b + c = u,
a² + b² + c² = u² - 2v,
a³ + b³ + c³ = u² - 3uv + 3w
kur
a + b + c = u
ab + bc + ac = v
abc = w
Pabandysiu parodyt:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc) iš čia
a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + ac + bc) = u² - 2v
x³ + y³ + z³ = (a + b + c)(a² + b² + c²) - a(b² + c²) - b(a² + c²) - c(a² + b²)
= (a + b + c)(a² + b² + c²) - ab² - ac² - ba² - bc² - ca² - cb²
= (a + b + c)(a² + b² + c²) - (a²b + ab²) - (a²c + ac²) - (b²c + bc²)
= (a + b + c)(a² + b² + c²) - (a²b + ab² + abc) - (a²c + ac² + abc) - (b²c + bc² + abc) + 3abc
= (a + b + c)(a² + b² + c²) - ab(a + b + c) - ac(a + c + b) - bc(b + c + a) + 3abc
= (a + b + c)(a² + b² + c²) - (a + b + c)(ab + ac + bc) + 3abc
= u(u² - 2v) - uv + 3w = u³ - 3uv + 3w
tada sistema bus
{u=12
{u² - 2v = 50
{u³ - 3uv + 3w = 216
u = 12, v = 47, w = 60.
todėl
{a + b + c = 12 <=> a = 12 - b - c
{ab + ac + bc = 47
{abc=60
{12(b + c) - ((b + c)² - bc) = 47
{(12 - (b + c))bc = 60
Dabar gavom lygčių sistemą su simetriniais daugianariais su dviem kintamaisiais.
(Aukščiau ten buvo su trim kintamaisiais.)
Su trimis kintamaisiais, pagrindiniai pakeitimai yra:
a + b + c = u, ab + ac + bc = v ir abc = w
Su dviem kintamaisiais pakeitimai tokie:
b + c = p ir bc = q
Tada sistema bus tokia:
{12p - (p² - q) = 47
{(12 - p)q = 60
(p; q) = (7; 12); (8; 15); (9; 20).
{b + c = 7
{bc = 12
(b; c) = (3; 4); (4; 3)
{b + c = 8
{bc = 15
(b; c) = (3; 5); (5; 3)
{b + c = 9
{bc = 20
(b; c) = (4; 5); (5; 4)
a = 12 - b - c
(a; b; c) = (3; 4; 5), (3; 5; 4), (4; 3; 5), (4; 5; 3), (5; 3; 4), (5; 4; 3)
Trikampis status, nes 3² + 4² = 5²
Ats.: 6
Jau turim du būdus kaip spręsti.
Bet mano gal tik ilgesnis 
Paskutinį kartą keitė Milkhater (2011-01-03 14:49:45)
