Titulinis → Matematikos formulės → Skaičiavimai ↓

Apibrėžtinių integralų formulės

Niutono ir Leibnico formulė

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=F(x)|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Integralo įvertis

$m\cdot (b-a)\leq \int_{a}^{b}{f(x)dx}\leq M\cdot (b-a)$
$m=\min_{[a,b]}f(x)$
$M=\max_{[a,b]}f(x)$

Lyginės funkcijos integravimas kai integravimo rėžiai simetriniai

$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=2\int_{0}^{a}{f(x)dx}$

Nelyginės funkcijos integravimas kai integravimo rėžiai simetriniai

$\int_{-a}^{a}{f(x)dx}=0$

Vidutinės reikšmės teorema

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=f(c)\cdot(b-a)$
$(a\leq c\leq b)$

Kitos formulės

$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin^nxdx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^nxdx}=\{{\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\frac{\pi}{2}, \qquad n-lyginis \\\frac{(n-1)!!}{n!!}, \qquad n-nelyginis}}$

Stačiakampių formulė

$\int _{a}^{b}{f(x)dx}=h\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)}+R_n$
$h=\frac{b-a}{n}$
$x_0=a-\frac{h}{2}$
$x_k=x_{k-1}+h$
$|R_n|\leq \frac{h^3}{24n^2}\cdot \left|\max_{[a;b]}f''(x)\right|$

Trapecijų formulė

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=h\cdot\left(\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)}\right)+R_n$
$h=\frac{b-a}{n}$
$x_0=a$
$x_k=x_{k-1}+h$
$|R_n|\leq\frac{h^3}{24n^2}\cdot\left|\max_{[a;b]}f''(x)\right|$

Simpsono (parabolių) formulė

$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\frac{h}{3}\left(f(a)+f(b)+4\sum\limits_{k=1}^{n}f(x_{2k-1})+2\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(x_{2k})\right)+R_n$
$h=\frac{b-a}{2n}$
$x_0=a$
$x_k=x_{k-1}+h$
$|R_n|\leq\frac{h^5}{180(2n)^4}\cdot\left|\max_{[a;b]}f^{(4)}(x)\right|$

Plokščiosios figūros plotas

$y=f(x)$ :
$S=\int\limits_a^bf(x)dx$

$\{ \begin{array}x=\varphi (t) \\ y=\rho(t)\end{array}$ :
$S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\psi(t)\cdot\varphi'(t)dt$

$\rho=\rho(x)$ :
$S=\frac{1}{2}\int\limits_{\alpha}^{\beta}\rho^2(\varphi)d\varphi$

Kreivės lanko ilgis

$y=f(x)$ :
$L=\int\limits_a^b\sqrt{1+(y')^2}dx$

$\{ {x=\varphi (t) \\ y=\rho(t)}$ :
$L=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\varphi')^2+(\psi')^2}dt$

$\rho=\rho(x)$ :
$L=\int\limits_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\rho^2(\varphi)+(\rho')^2}d\varphi$

Sukinio paviršiaus plotas

$y=f(x)$ :
$S=2\pi\int\limits_{a}^by\sqrt{1+(y')^2}dx$

$\left{ {x=\varphi (t) \\ y=\rho(t)}$ :
$S=2\pi\int\li,its_{t_1}^{t_2}\psi(t)\sqrt{(\varphi')^2+(\psi')^2}dt$

$\rho=\rho(x)$ :
$S=2\pi\int\limits_{\alpha}^{\beta}\rho(\varphi)\sin\varphi\sqrt{\rho^2(\varphi)+(\rho')^2}d\varphi$

Erdvinės kreivės lanko ilgis

Erdvinė kreivė:
$\{\begin{array}x=\varphi(t)\\y=\psi(t)\\z=\chi(t)\end{array}$
$(t_1\leq t\leq t_2)$
$l=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(\varphi')^2+(\psi')^2+(\chi')^2}dt$

Tarp plokštumų x=a ir y=b esančio kūno tūris

$V=\int\limits_a^bQ(x)dx$
$Q(x)$ - kūno skerspjūvio plotas

Sukinio tūris

$V=\pi\int\limits_a^b(f(x))^2dx$
$y=f(x)$ , $x=a$ , $x=b$ - kreivintrapecija sukama apie x ašį

Kreivės lanko svorio centro koordinatės

Kreivės $y=f(x)$ lankas nuo $x=a$ iki $x=b$
$x_c=\frac{S_y}{L}$ , $y_c=\frac{S_x}{L}$
$L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+(y')^2}dx$
$S_x=\int\limits_a^bf(x)\sqrt{1+(y')^2}dx$
$S_y=\int\limits_a^bx\sqrt{1+(y')^2}dx$

Plokščiosios vienalytės figūros svorio centro koordinatės

$x=\frac{S_y}{S}$ , $y_c=\frac{S_x}{S}$
$S_y=\int\limits_a^bx\cdot F(x)dx$
$S_x=\int\limits_c^dy\cdot \varphi(y)dy$
$S$ - figūros plotas