Neapibrėžtinių integralų formulės

Laipsninės funkcijos neapibrėžtinis integralas

\int u^adu=\frac{u^{a+1}}{a+1}+C
a\neq -1
C - konstanta

Funkcijos laipsniu -1 neapibrėžtinis integralas

\int \frac{du}{u}=\ln |u|+C
C - konstanta

Rodiklinės funkcijos neapibrėžtinis integralas

\int {a^u}du=\frac{a^u}{\ln a}+C
C - konstanta

Eksponentinės funkcijos neapibrėžtinis integralas

\int e^udu=e^u+C
C - konstanta

Sinuso funkcijos neapibrėžtinis integralas

\int \sin u du=-\cos u+C
C - konstanta

Kosinuso funkcijos neapibrėžtinis integralas

\int \cos u du=\sin u+C
C - kosinusas

Kiti neapibrėžtiniai integralai

\int \frac{du}{\cos^2 u}=tg \ \ u+C
\int \frac{du}{\sin^2 u}=-ctg \ \ u+C
\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}}=arc \ \ \sin u +C
\int \frac{du}{1+u^2}=arc \ \ tg \ \ u+C
u=f(x)
\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arc \ \ tg \ \ \frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arc \sin \frac{x}{a}+C
\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{a}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arc\sin \frac{x}{a}+C
\int \sqrt{x^2\pm a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm \frac{a^2}{2}\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C
\int \frac{\sqrt{x^2\pm a^2}}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{x^2\pm a^2}}{x}+\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C
\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a}\ln |\frac{a+x}{a-x}|+C
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln |x+\sqrt{x^2\pm a^2}|+C
\int \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x^2}dx=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}-arc\sin\frac{x}{a}+C
\int \frac{dx}{\sin x}=\ln|tg\frac{x}{2}|+C
\int \frac{dx}{\cos x}=\ln |tg(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2})|+C
C - konstanta

Integravimas dalimis

\int u dv=uv-\int vdu

Rekurentinė formulė integralui apskaičiuoti

I_n=\int \frac{dx}{(a^2+x^2)^n}
I_n=\frac{1}{a^2}\left(\frac{x}{(2n-2)(a^2+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\cdot I_{n-1}\right)

Integralams skaičiuoti tinkantys keitiniai

Integralui \int R(\sin x,\cos x)dx tinkantis keitinys
tg\frac{x}{2}=t
tai:
\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, dx=\frac{2dt}{1+t^2}

Integralams \int R(\sin^2 x,\cos^2 x)dx ir \int R(tg \ \ x)dx tinka keitinys
tg \ \ x=t
tai
\sin^2 x=\frac{t^2}{1+t^2}, \cos^2 x=\frac{1}{1+t^2}, dx=\frac{dt}{1+t^2}