Netiesioginiai integralai

1. Ar konverguoja netiesioginis integralas ∫dx/((√x^3)*ln(x)^2) , reziai 1 ir +∞?
2. Ar konverguoja netiesioginis integralas ∫dx/√((2-x)*ln(x)),reziai 1 ir 2? abu trukio taskai tai ar tai reiskia,kad diverguoja ?
abiejuose uzdaviniuose labai ne kokie integralai,pritaikius integravima dalimis neiseina man net rezultato normalaus gaut,gal kazka ne taip darau ?

Ats: Netiesioginiai integralai

Šių integralų geriau ir neintegruoti.

Iš pradžių pagalbinis pastebėjimas: ln(x) / (x - 1) -> 1, kai x -> 1+. Tai galima išvesti iš (1+1/x)^x -> e, kai x -> ∞, kas yra ekvivalentu (1 + x)^(1/x) -> e, kai x -> 0+, kas yra x^(1/(x-1)) -> e, kai x -> 1+. ln yra tolydi funkcija, todėl ln[ x^(1/(x-1)) ] -> 1, kai x -> 1+, kas ir reiškia pradinį teiginį.

Remiantis šia savybe, žinome, jog yra toks c > 1, kad ln(x) < 2 * (x - 1) su visais 1 < x < c. Taip pat yra toks d > 1, kad ln(x) > 1/2 * (x - 1) su visais 1 < x < d.

1. Parodysime, kad integralas nekonverguoja ties 1. Kai x < c, x^(-3/2) / [ ln(x) ]^2 > c^(-3/2) / [ ln(x) ]^2 > c^(-3/2) / [ 2*(x-1) ]^2. Dėl patogumo rašykime k = c^(-3/2) / 4 ir tuomet turime, kad pradinis integralas rėžyje nuo 1 iki c ne mažesnis nei ∫ k/(x-1)^2 dx = -k/(d-1) + lim{x->1} k/(x-1) = ∞, taigi integralas nekonverguoja.

2. Parodysime, kad šis integralas konverguoja. Rėžyje nuo 3/2 iki 2 turime √[(2-x)*ln(x)] > m*√(2-x), kur m = ln(3/2), taigi šiame rėžyje ∫dx/√((2-x)*ln(x)) ≤ 1/m * ∫ dx / √(2-x) = √2 (net jei suklydau skaičiuodamas, aišku, kad ši reikšmė baigtinė), taigi integralas konverguoja ties 2. Rėžyje nuo 1 iki d turime √[(2-x)*ln(x)] > n*√(x - 1), kur n = 1/√2, taigi ∫dx/√((2-x)*ln(x)) ≤ 1/n * ∫ dx / √(x-1) irgi susiintegruoja. O rėžyje nuo d iki 3/2 tikrai susiintegruoja, nes 1/√[(2-x)*ln(x)] tame rėžyje tolydi.

Paskutinį kartą keitė AncientMariner (2009-09-24 20:05:00)

3

Ats: Netiesioginiai integralai

o remiantis iprastai netiesioginio integralo budais ,integruojant  ir rezius renkantis 1+epsilon ,su lim ir pan. nelabai kaip supratau eina issprest ?  na aciu bent uz tokia pagalba,telieka issiaiskinti smile

Ats: Netiesioginiai integralai

Mes aiškiai nesimokome ten pat, taigi aš nežinau, koks metodas tau įprastas.

Jei gerai suprantu, tu norėtum suintegruoti antrą integralą rėžyje nuo a iki b, kur 1 < a < b < 2 ( arba rėžyje nuo 1 + d iki 2 - e, kai d, e > 0 ) ir tuomet imti ribas, kad a -> 1 ir b -> 2. Deja, šitaip nepavyks, nes ∫dx/√((2-x)*ln(x)) nesuintegruoja ir integrals.wolfram.com, o ∫dx/((√x^3)*ln(x)^2) = -1/2 Ei( -ln(x) / 2 ) - 1 / (√x ln(x)) + C, kur funkcija Ei yra apibrėžta kaip tam tikro dalyko integralas.

Aš darau labai panašiai. Tik iš pradžių pertvarkau reiškinį, kurį integruoju. Jei noriu parodyti, kad ties kažkuriuo tašku integralas nutolsta į begalybę, susimažinu į paprastesnį reiškinį, kurio integralas vis dar nutolsta į begalybę. Jei noriu parodyti, kad ties kažkuriuo tašku integralas konverguoja, pasididinu integruojamą reiškinį iki kažkokio paprastesnio, kuris vis dar konverguoja. Ir jau dabar darau taip, kaip sakei tu.